Mathegami = Mathematik + Origami

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  • Kugelmodelle: Modell 1, Modell 2
  • Quadrate
    Es wird auf verschiedene Weise gezeigt, wie man quadratisches Faltpapier selber herstellen kann. In Variante 1 und 3 spielt rechteckiges Ausgangspapier, in der Variante 3 speziell DIN A4-Papier eine Rolle. In der Variante 2 wird in unregelmäßig geformtes Papier ein Quadrat gefaltet.
    Bereits in der Grundschule können Schüler begründen, dass die, nach Variante 1 bzw. 2 gefalteten Vierecke, auch Quadrate sind. Um dies ebenfalls für das Viereck nach Variante 3 nachzuweisen, benötigt man den Satz des Pythagoras.
    An das Falten eines Quadrates nach Variante 3 schließen weitere Betrachtungen an, die zeigen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Außerdem wird eine Kettenbruchentwicklung für diese Zahl angegeben.
    In Variante 4 wird gezeigt, wie man ein Quadrat ohne Faltlinie im Innern erreichen kann.
  • Vom Quadrat zum Würfel (Variante 1)
    Vom Quadrat zum Würfel (Variante 2)
    Arbeitsblätter: Würfel 1, Würfel 2
  • Vom Rechteck zum Quader
    Arbeitsblätter: Quader 1, Quader 2
  • Origami-Gras - geometrische Betrachtungen
    Aus einem quadratischen Blatt wird eine Figur gefaltet, die im Origami 'Gras' genannt wird. Auf dem Weg zu dieser Figur entstehen verschiedene geometrische Fragestellungen. Am Ende ergeben sich überraschenderweise kongruente Dreiecke.
  • Ein Päckchen - geometrische Betrachtungen
    Es wird gezeigt, wie man aus einem quadratischen Faltpapier ein 'Päckchen' faltet. Dieses Päckchen ist ebenfalls eine quadratische Figur. Außerdem wird gezeigt, dass der Flächeninhalt des Päckchens genau 1/3 des Flächeninhaltes des Ausgangsquadrates ist. Dabei werden Faltlinien mit Hilfe von Geradengleichungen beschrieben.
    Eigene Untersuchungen zu Variationen werden angeregt.
  • Der goldene Schnitt - Das goldene Rechteck
  • Der Satz von Haga
    Zentraler Inhalt dieses Beitrages ist der Satz von Haga, der aus dem Bereich des mathematischen Origami stammt und Verbindungen zur Ähnlichkeitslehre und zum Satz des Pythagoras erlaubt.
    Aus dem Beweis des Satzes von Haga ergibt sich ein viertes Dreieck, das den Satz dann sinnvoll ergänzt.
    Darüber hinaus werden Verallgemeinerungen aufgezeigt, bei denen es möglich ist eine Strecke in n gleiche Teile zu teilen bzw. (bis auf Ähnlichkeit) alle pythagoreischen Dreiecke durch Falten zu bestimmen.
    Vorschläge für weitere Probleme sollen den Leser zu eigenen Untersuchungen anregen.
  • regelmäßige Fünfecke
  • Schneekristalle
  • Winkeldreiteilung
    Im folgenden Beitrag geht es um die Dreiteilung eines beliebigen Winkels mit Hilfe von Zirkel und Lineal. Da eine solche Konstruktion nicht möglich ist, wird eine Winkeldreiteilung nach Archimedes mit Zirkel und Einschiebelineal angegeben. Dabei spielt das 'Einpassen' einer vorgegebenen Strecke eine wichtige Rolle. Anschließend wird eine Faltkonstruktion zur Winkeldreiteilung angegeben, bei der ebenfalls das 'Einpassen' einer vorgegebenen Strecke notwendig ist. Die Richtigkeit der beiden Konstruktionen ist mit Mitteln der Schulgeometrie leicht zu beweisen.
  • Würfelverdopplung
    Im folgenden Beitrag geht es um die Verdopplung eines Würfels mit Hilfe von Zirkel und Lineal.
    Da eine solche Konstruktion nicht möglich ist, wird eine Würfelverdopplung mit Hilfe von zwei Winkelhaken angegeben. Diese Konstruktion soll von Platon stammen. Diese Konstruktion basiert auf der Idee von Hippokrates, der die Würfelverdopplung auf das Bestimmen der mittleren Proportionalen zu zwei gegebenen Größen zurückgeführt hat.
    Anschließend wird das Einpassen der Winkelhaken auf das Falten von Papier übertragen. Die Richtigkeit der beiden Konstruktionen ist mit Mitteln der Schulgeometrie leicht zu beweisen.
  • Dritteln eines DIN A4-Blattes
    Im Folgenden wird beschrieben wie man ein DIN A4-Blatt längs und quer dritteln kann. Eine dieser Varianten kann helfen, einen Brief so zu falten, dass er in einen länglichen Briefumschlag passt.
    Dabei spielt eine Eigenschaft des Schwerpunktes in einem Dreieck eine wichtige Rolle.
    Auch der Strahlensatz zur Dreiteilung einer Strecke findet Anwendung. Lineare Funktionen helfen bei der Begründung einer Vermutung, die sich beim Falten ergibt.
  • Dritteln eines Kreises
    In diesem kleinen Beitrag wird gezeigt, wie man ein kreisförmiges Papier in drei (sechs) gleichgroße Kreissektoren durch Falten aufteilen kann. Die Faltidee dazu resultiert aus der entsprechenden Konstruktion mit Zirkel und Lineal.
  • Würfel-Pyramide-Rhombendodekaeder
    In diesem kleinen Beitrag beginnen wir mit dem Falten eines Moduls für einen Würfel nach Mitsunobu Sonobe. Aus diesem Modul entwickeln wir ein Modul für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Modifikationen dieses Moduls führen uns zu quadratischen Pyramiden mit verschiedenen Höhen.
    Dabei finden wir auch eine Pyramide, deren Höhe der halben Kantenlänge des Grundquadrates entspricht, sodass sich mit sechs kongruenten Exemplaren dieser ein Würfel zusammensetzen lässt. Durch „Umstülpen“ dieses Würfels kommen wir zum Rhombendodekaeder.
    In diesem Beitrag wird besonderer Wert auf die Entwicklung eines Moduls zum Bau von Pyramiden gelegt. Es wird nicht nur die Faltanleitung angegeben, sondern auch der Weg dorthin steht im Mittelpunkt der Betrachtungen.
  • Ein Schmetterlingsball
    Hier wird ein Körper beschrieben, der seinen Namen alle Ehre macht.
    Die Module sind leicht zu falten, der Zusammenbau ohne zusätzlich Hilfsmittel ist schwierig. Deshalb wird zu diesem Körper eine Schachtel konstruiert, in der man den Körper leichter zusammensetzen kann.
    Wenn man dies geschafft hat, nimmt man ihn vorsichtig aus der Schachtel, wirft in ihn die Höhe und beim Heruterfallen zerstört man ihn mit der Hand. Seine Module sinken nun wie kleine Schmetterlinge zu Boden.
  • Unser Schreibpapier - Ein Blatt aus der DIN A-Reihe
    Mit einer Selbstverständlichkeit benutzen wir unser Schreibpapier, das in der Regel ein DIN A4 Blatt ist. Darüber hinaus kennen wir noch DIN A3 z.B. bei Zeichenblöcken oder DIN A5 bzw. A6 z.B. bei kleineren Heften oder bei Karteikarten. Was hat es aber mit dem DIN A - Format auf sich, wie und warum ist es so festgelegt? Diesen Fragen wollen wir hier nachgehen.
  • Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers
    Fällt man von einer Ecke eines DIN A4 Blattes das Lot auf die Diagonale durch die benachbarten Eckpunkte, so schneidet das Lot die gegenüberliegende Rechteckseite in ihrem Mittelpunkt. Diese interessante Eigenschaft ist der Ausgangspunkt für die Überlegungen in dieser kleinen Betrachtung. Dabei wird gezeigt, dass diese Eigenschaft nur für Rechtecke gilt, die zum DIN A4 Blatt ähnlich sind. Bei unseren Überlegungen lernen wir auch einen Briefumschlag zu falten und finden eine Möglichkeit ein DIN A4 Blatt durch Falten sowohl längs als auch quer zu dritteln.
  • Falten eines regelmäßigen Fünfecks (Diana Todt)
    In dieser Arbeit wird ein Faltverfahren vorgestellt, welches in ein gegebenes Rechteck ein regelmäßiges Fünfeck mit größtmöglichem Flächeninhalt entstehen lässt. Gegenüber bereits bekannten Faltungen hat dieses Verfahren den Vorteil, dass es keine Näherung darstellt, sondern exakt ist und sich auf verschiedene Papierformate anwenden lässt. Sowohl die Korrektheit des Verfahrens als auch die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal werden gezeigt. Die Idee zu diesem Faltverfahren entstand im Rahmen meiner wissenschaftlichen Hausarbeit an der Friedrich–Schiller–Universität Jena.
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